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Interacções elásticas a 2D   No caso das simulações realizadas a duas dimensões, é possível abordar o mesmo problema segundo duas perspectivas diferentes, uma considera, enquanto primeira aproximação, que as partículas depositadas se comportam como gotas líquidas, com regras próprias de coagulação, A segunda perspectiva, considera que as partículas a simular são átomos (ou moléculas) individuais que se comportam de forma semelhante á descrita para o caso unidimensional. O modelo estudado, é apenas uma generalização do estudado anteriormente para 1D, em que se permite mais um grau de liberdade às partículas. Calculo do potencial a 2D Para efectuar o calculo do potencial efectivo a duas dimensões seguiremos o mesmo raciocínio que para o caso uni-dimensional. Separaremos o valor total da energia $E_T$ em duas contribuições, uma devida á interacção da partícula com as suas imagens e outra devida á interacção da partícula com outra pertencente ao sistema e as repetições desta ultima. Na realização dos cálculos utilizaremos o método exposto em [7] e recorreremos á seguinte definição: $$r^{-\frac{n}{2}}=\frac{1}{\Gamma (\frac{n}{2})}\int_0^\infty e^{-ru}u^{\frac{n}{2}-1}~\mathrm{d}u$$ (5.1) Interacção da partícula com as suas imagens Figure 5.1: Uma partícula e as suas imagens a 2D Neste caso pretendemos efectuar a seguinte soma: $$E_i=\sum_{k_1,k_2}\frac{Gm_i^2}{[(k_1 L)^2+(k_2 L)^2]^\frac{3}{2}}$$ (5.2) Em que os valores $k_1$ e $k_2$ não podem ser simultaneamente nulos. Substituindo a Eq. 5.1 e simplificando obtemos: $$E_i=\frac{Gm_i^2}{\Gamma(\frac{3}{2})L^3}\int_0^\infty \sum_{k1,k2} e^{-(k_1^2+k_2^2)u} \sqrt{u}~\mathrm{d}u$$ (5.3) Se definirmos: $$\theta_3(q)=\theta_3(0,q)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} q^{k^2}$$ (5.4) em que $\theta_3(p,q)$ é a bem conhecida função elíptica de terceira ordem, podemos escrever Eq. 5.3 em função de $\theta _3(q)$. $$E_i=\frac{Gm_i^2}{\Gamma(\frac{3}{2})L^3}\int_0^\infty \left[\theta_3^2(e^{-u})-1\right] \sqrt{u}~\mathrm{d}u$$ (5.5) Se separarmos este integral em dois, um de 0 a $1$ e o outro de $1$ a $\infty$ obtemos: $$E_i=\frac{Gm_i^2}{\Gamma(\frac{3}{2})L^3}\left\{\int_0^1 \left[\t... ...}u+\int_1^\infty \left[\theta_3^2(e^{-u})-1\right] \sqrt{u}~\mathrm{d}u\right\}$$ (5.6) Considerando apenas o primeiro integral, designando $\alpha=\pi/\beta$ e tendo em consideração que $\theta_3(e^{-\pi\beta})\equiv\theta_3(e^{-\pi/\beta})/\beta^{1/2}$ chegamos a que: $$\int_0^1 \left[\theta_3^2(e^{-u})-1\right] \sqrt{u}~\mathrm{d}u=\... ...nfty\frac{\theta_3^2(e^{-\pi\alpha})}{\alpha^{3/2}}\mathrm{d}\alpha-\frac{2}{3}$$ (5.7) Se definirmos uma função $\phi_m(x)$ tal que, $$\phi_m(x)=\int_1^\infty\beta^me^{-\beta x}\mathrm{d}\beta$$ (5.8) e expandir-mos $\theta_3^2$ em série de Taylor, obtemos finalmente: $$E_i=\frac{Gm_i^2}{\Gamma(\frac{3}{2})L^3}\left\{\sum_{n=1}^\infty\left[a_n\phi_{1/2}(n\pi)+a_n\phi_{-3/2}(n\pi)\right]+\frac{1}{3}\right\}$$ (5.9) Somando sobre todas as partículas obtemos: $$E_1^{(2)}=\sum_i\frac{Gm_i^2}{\Gamma(\frac{3}{2})L^3}\left\{\sum_... ...\infty\left[a_n\phi_{1/2}(n\pi)+a_n\phi_{-3/2}(n\pi)\right]+\frac{1}{3}\right\}$$ (5.10) Interacção entre duas partículas Figure 5.2: Relações entre uma partícula depositada e outra já existente e as suas repetições periódicas a 2D Neste caso a soma a realizar é (ver Fig. 5.2): $$E_{ij}=\sum_{k1,k2}\frac{Gm_im_j}{[(a+k_1L)^2+(b+k_2L)^2]^\frac{3}{2}}$$ (5.11) Simplificando obtemos: $$E_{ij}=\frac{Gm_im_j}{L^3}\sum_{k1,k2}\frac{Gm_im_j}{[(x+k_1)^2+(y+k_2)^2]^\frac{3}{2}}$$ (5.12) Onde $x=a/L$ e $y=b/L$. Substituindo a Eq. 5.1 chegamos a: $$E_{ij}=\frac{Gm_im_j}{\Gamma(\frac{3}{2})L^3}\int_0^\infty\sum_{k1,k2} e^{-[(x+k_1)^2+(y+k_2)^2]u} \sqrt{u}~\mathrm{d}u$$ (5.13) Se considerarmos apenas os somatórios, obtemos: $$\sum_ke^{-(k+a)^2u}=\sum_ke^{-(k^2+a^2+2ak)u}=e^{-a^2u}\sum_ke^{-k^2u}=e^{-a^2u}\theta_3(e^{-u})$$ (5.14) Substituindo na expressão anterior, obtemos: $$E_{ij}=\frac{Gm_im_j}{\Gamma(\frac{3}{2})L^3}\int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)u}\theta_3^2(e^{-u})\sqrt{u}~\mathrm{d}u$$ (5.15) Segundo [6,40,42], $$\sum_{k=-\infty}^\infty e^{-ak^2}=\int_{-\infty}^\infty e^{-a x^2}~\mathrm{d}x+R_a=\sqrt{\frac{\pi}{a}}+R_a$$ (5.16) Sendo que o erro cometido, $R_a$, varia com o valor de $a$, mas é sempre inferior a 1. O valor de $R_a$ tende para zero, quando $a$ tende para zero e tende para um quando $a$ tende para infinito. Devido a esta variação do erro cometido, esta aproximação só é útil para nós dentro de um determinado intervalo, dado por $a\in~]0,-\log 0.3]$, sendo que o erro cometido neste intervalo é sempre inferior a 0.001. No domínio restante, a função pode ser aproximada recorrendo aos primeiros termos de uma expansão em série de Taylor dada por: $$\theta_3(q)=1+2q+2q^4+O[q]^5,\quad\quad\hbox{quando $q=e^{-a}\leq 0.3$}$$ (5.17) Sendo o erro cometido aqui também inferior a 0.001. Figure 5.3: As aproximações feitas na integração da função $\theta _3(q)$. A curva designada de Integral representa o resultado da Eq. 5.16, e curva designada de Taylor representa a expansão em série de Taylor obtida na Eq. 5.17 Definindo $a^2=x^2+y^2$, e considerando que: $$\int_0^\infty e^{-a^2u}\theta_3^2(e^{-u})\sqrt{u}~\mathrm{d}u=\in... ...hrm{d}u+\int_{-\log 0.3}^\infty \sqrt{u}\theta_3^2(e^{-u})e^{-a^2u}~\mathrm{d}u$$ (5.18) Usando ainda: $$\begin{equation} \int_0^{-\log 0.3} \frac{\pi e^{-ua^2}}{\sqrt{u... ...3/2}}-\frac{\sqrt{\pi}Erf(\sqrt{-\log 0.3(1+b)})}{2(1+b)^{3/2}} \end{equation}$$ $$\theta_3^2(q)=1+4q+4q^2+4q^4+O[q]^5$$ (5.20) Obtemos finalmente: $$\begin{multline} \int_0^\infty e^{-a^2u}\theta_3^2(e^{-u})\sqrt{u}~\mathrm{d}u=... ...c{\sqrt{\pi}Erf(\sqrt{-\log 0.3(5+a^2)})}{2(5+a^2)^{3/2}}\right) \end{multline}$$ Sendo que a energia total do nosso sistema é então dada por: $$\begin{multline} E_T=\sum_i\frac{Gm_i^2}{\Gamma(\frac{3}{2})L^3}\left\{\sum_{n=... ...t{\pi}Erf(\sqrt{-\log 0.3(5+a^2)})}{2(5+a^2)^{3/2}}\right)\Bigg] \end{multline}$$ Simulações As simulações realizadas a duas dimensões obedeceram a um algoritmo semelhante ao descrito anteriormente para o caso unidimensional, com a ressalva de que, neste caso, a partícula tem duas direcções possíveis para se deslocar. Selecciona-se aleatoriamente um local na rede. Se o local se encontrar ocupado, selecciona-se outro. No caso em que o local da rede se encontra livre, mas tem um ou mais primeiros vizinhos ocupados, ocorre a absorção irreversível. Se todos os primeiros vizinhos estão livres, a partícula difunde-se até atingir um mínimo local da energia, ou até colidir com um agregado pré-existente. Durante a difusão, a partículas apenas se pode deslocar para os locais que sejam seus primeiros vizinhos, não ocorrendo portanto movimentos ao longo da diagonal de uma célula unitária. Quando a posição de miníma energia é atingida, a partícula começa a sentir o efeito da temperatura, passando agora a difundir-se aleatoriamente com probabilidade $\propto e^{-\Delta E/k_B T}$ durante um número $D$ de passos ou até colidir com uma outra partícula. Figure 5.4: Energia de uma configuração aleatória do sistema para $\theta =0.5$. Na figura é notória a ordem de grandeza da energia e das suas variações locais. Energia de uma configuração aleatória do sistema para $\theta =0.5$. Neste caso, os valores medidos da energia eram da ordem de $10^5$, ou seja, cerca de quatro ordens de magnitude inferiores aos verificados no caso a uma dimensão. Por outro lado, a variação média da energia para locais vizinhos da rede era da ordem de $10^3$, o que por seu lado, leva a que para se verificar a condição da Eq. 4.17, $A$ tenha que ser $\sim10^{-1}$. Tendo sido este o valor utilizado durante as simulações.   Resultados Figure 5.5: Função de distribuição de probabilidades e evolução do número de agregados em função do tempo. Figure 5.6: Logaritmo da evolução do numero de agregados presentes no sistema em função do tempo. nesta imagem é visível a presença de dois regimes na evolução do sistema. O primeiro em que o numero de agregados aumenta numa lei de potencia com expoente igual a 0.937 e o segundo, depois de começar a ocorrer a coalescencia dos agregados em que a função evolui com expoente igual a -8.6 No caso a duas dimensões, o comportamento obtido foi diferente do observado anteriormente no caso uni-dimensional. Neste caso, a distribuição de massa obtida foi um decaimento exponencial com o tamanho do agregado considerado. Com o aumento do valor da cobertura do sistema, verifica-se uma diminuição do numero de agregados de massas pequenas e um consequente aumento do número de agregados cujas massas são maiores, até que para $\theta=0.9$, na maioria dos casos, todos os agregados já coalesceram num único com massa igual a 9000. Esta tendência, está bem patente no gráfico que representa a evolução do número de agregados em função do tempo. Inicialmente, observa-se um crescimento linear no tempo, sendo que, posteriormente, quando o processo de coalescencia se começa a tornar importante, o numero de agregados começa a diminuir com a passagem do tempo. Em ambos os casos, a evolução obedece a uma lei de potencia (ver Fig. 5.6). Influência da temperatura Figure 5.7: Variação da função de distribuição de probabilidades e do numero de agregados em função da temperatura. Quando se efectuou o estudo da influência que a temperatura tinha sobre os resultados obtidos, foi possível observar um comportamento algo estranho da distribuição de massa e do numero de agregados. Todas as curvas obtidas se sobrepõem á excepção de duas, as correspondentes ás temperaturas de 500 K e 900 K, que se situam abaixo das restantes e aproximadamente sobrepostas uma á outra. Figure 5.8: Logaritmo da evolução do numero de agregados com o tempo. É de notar que as duas curvas são sempre paralelas, estando apenas deslocadas uma da outra. Infelizmente, devido á falta de tempo para a realização de mais simulações a diferentes temperaturas, não foi possível compreender este comportamento. Podem, no entanto, ser avançadas duas hipóteses para a sua compreensão. A primeira é que podemos estar perante uma transição que seja característica do sistema em estudo. A outra, talvez mais realista, é que o comportamento observado se deve a uma qualquer deficiência do algoritmo utilizado durante as simulações. Influência do numero de passos de difusão Figure 5.9: Comportamento da função de distribuição de probabilidades e do numero de agregados com a variação do numero de passos de difusão. De forma semelhante ao que já tinha ocorrido no caso unidimensional, o parâmetro que demonstrou ter uma maior influência sobre os resultados obtidos foi o numero de passos de difusão que se permitia que a partícula a ser depositada desse. Foi possível verificar que, conforme se aumentava o numero de passos, o numero de agregados de massa próxima de um ia diminuindo de forma gradual. Esta diminuição, começava por ser bastante grande quando o numero de passos permitidos era pequeno, sendo que as diferenças observadas se começam a esmorecer com o aumento do numero de passos. Esta cada vez menor influencia que o aumento do numero de passos revela ter, mostra que a partir de um dado valor, a maioria das partículas já colidiu com um agregado, pelo que o numero de passos que lhe seria permitido dar depois torna-se irrelevante. Este facto dá-nos uma medida do espaçamento médio entre os agregados do nosso sistema, que é da ordem de 10 a 15 unidades de rede desde coberturas muito pequenas ($\sim 0.1$). Esta evolução está também patente na Fig. 5.10, onde é visível que nos instantes iniciais, a evolução apresentar o mesmo comportamento para todos os valores utilizados5.1. No entanto, para valores de $\theta$ próximos a 0.3, as curvas começam a divergir, apresentando o comportamento descrito anteriormente. Figure 5.10: Logaritmo da evolução do numero de agregados com o tempo para diferentes valores do numero de passos de difusão. Influência de A Figure 5.11: Variação da função de distribuição de probabilidades e do numero de agregados como função do valor de G. Figure 5.12: Logaritmo das curvas correspondentes aos diversos valores de $A$. O ultimo parâmetro cuja influencia se estudou foi o da constante $G$ que caracteriza o valor do potencial. De forma semelhante ao que acontecia nas simulações a uma dimensão, o valor de $G$ não se encontra definido no programa, estando o seu valor representado pelo parâmetro $A$ definido através da Eq. 4.18. Foi então valor deste parâmetro que foi variado durante a realização das simulações. Neste caso, o comportamento observado foi semelhante ao verificado aquando do estudo do efeito da temperatura, sendo que verificou-se a ocorrência de duas curvas distintas nas quais se sobrepõem as curvas correspondente aos diversos valores utilizados.   © Copyright 2004 Bruno Goncalves - All rights reserved