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Função de correlação A função de correlação revela-se extremamente importante no estudo desta temática, uma vez que nos fornece uma grande quantidade de informação acerca do nosso sistema. Esta importância é ainda acrescida do facto de que é possível efectuar o calculo da função de correlação a partir de medições experimentais do factor de estrutura da amostra. Torna-se por isto importante efectuar um estudo um pouco mais aprofundado desta função. Como vimos anteriormente Sec. 1.3, a função de correlação é definida como: $$C({\bf r},t)=\langle h({\bf x})h({\bf x}+{\bf r})\rangle -\langle h({\bf x})\rangle\langle h({\bf x}+{\bf r})\rangle$$ (B.1) Figure B.1: Unidade básica de um sistema com $a=b=5$ onde $h({\bf x})$ representa a altura do sistema na posição $x$. A partir desta simples definição, é possível obter muita informação acerca das propriedades intrínsecas ao sistema. Figure B.2: Função de correlação de um sistema com $a=b=5$ Debruçemo-nos sobre um sistema periódico, com $L=10$, constituído por repetições de um padrão simples, um agregado de tamanho $a=5$ seguido de um espaço livre com tamanho $b=5$. A função de correlação deste sistema encontra-se representada na Fig. B.2. A função de correlação, neste caso, apresenta uma sequência de máximos e mínimos, que se repete de 10 em 10 unidades. Os máximos encontram-se nos pontos do tipo $r_{max}^{(n)}=10*n$, sendo que os mínimos se encontram em pontos com $r_{min}^{(n)}=5+10*n$. O valor máximo da função de correlação é 0.25, sendo o seu mínimo igual a -0.25. Este tipo de sistemas tem $\theta =0.5$, se alem disso, consideramos que $\langle h({\bf x})\rangle=\langle h({\bf x}+{\bf r})\rangle$ é simples perceber que o segundo termo da Eq. B.1 é simplesmente igual a 0.25. Daqui, se explica o valor mínimo que é atingido pela função de correlação para distancias onde o primeiro termo da Eq. B.1 é nulo. O valor máximo advém das distancias para as quais ambos os pontos se encontram sempre ocupados. Figure B.3: Unidade básica de um sistema com $a=7$ e $b=3$ Consideremos agora um sistema periódico, constituído por agregados de tamanho $a=7$ com uma separação de $b=3$ unidades de rede entre eles, como se representa na Fig. B.3. Figure B.4: Representação de um sistema com $a=7$ e $b=3$ e da sua função de correlação. Através da figura é possível ver que, o primeiro mínimo da função de correlação corresponde ao afastamento entre os agregados ($r=3$). A função de correlação mantém então esse valor até uma distancia igual ao tamanho médio dos agregados ($r=7$), atingindo de novo o máximo para uma distancia á origem igual á periodicidade do sistema ($r=10$). Através destes exemplos simples, é possível concluir que a função de correlação mantém a mesma periodicidade do sistema e as suas características fundamentais.   Algumas relações úteis A partir de considerações derivadas da própria definição da Eq. B.1, é possível obter algumas relações entre o valor da função de correlação a determinadas distancias, com determinadas características intrínsecas do sistema. Consideremos inicialmente, o valor $C(0,t)$ que a função de correlação toma no ponto zero. Neste caso, o primeiro termo da Eq. B.1 corresponde a calcular o numero médio de partículas presentes no sistema, uma vez que se calcula o valor médio de uma função que é um nos pontos em que se encontra uma partícula e zero onde não esta nenhuma partícula presente. Este termos corresponde, portanto, á cobertura do sistema. Por seu lado, o segundo termo corresponde ao quadrado da cobertura do sistema, logo a função de correlação toma neste caso o valor: $$C(0,t)=\theta-\theta^2$$ (B.2) O valor de $C(1,t)$, dá-nos uma ideia do numero de partículas que têm primeiros vizinhos. Este valor é facilmente calculado, se considerarmos que num aglomerado de $n$ partículas, é possível obter $n-1$ pares contíguos de partículas, pelo que, para saber quantas partículas têm primeiros vizinhos, é necessário efectuar uma soma sobre todos os aglomerados com $n\geq 2$, obtendo então: $$C(1,t)=\sum_{n=2}^\infty(n-1)P_n(t)-\theta^2$$ (B.3) O primeiro termo desta relação pode então ser expresso como sendo: $$\sum_{n=2}^\infty(n-1)P_n(t)=\left.\sum_{n=1}^\infty(n-1)P_n(t)x^n\right\vert _{x=1}=\theta-G(1,t)$$ (B.4) Sendo a ultima igualdade devido a Eq. A.9 e a Eq. A.7. Obtendo finalmente: $$C(1,t)=\theta-\theta^2-G(1,t)=C(0,t)-G(1,t)$$ (B.5) A análise do valor de $C(r,t)$ para $r=2$ é semelhante, apenas com algumas diferenças. O numero de pares de partículas separados por um espaço, que é possível formar dentro de um aglomerado de $n$ partículas, é simplesmente, $n-2$, pelo que obtemos um termo da forma: $$\sum_{n=3}^\infty(n-2)P_n(t)$$ (B.6) Este termo, apenas contabiliza o numero de pares de partículas que estão presentes dentro de aglomerados, mas, os casos em que temos duas partículas separadas por um espaço em branco também devem ser consideradas. O numero destes casos é dado por $N_1$, o numero de espaços livres no sistema com tamanho igual a um, pelo que obtemos: $$C(2,t)=\sum_{n=2}^\infty(n-2)P_n(t)+N_1-\theta^2$$ (B.7) O somatório presente nesta expressão pode então ser expresso como: $$\sum_{n=2}^\infty(n-2)P_n(t)=\left.\sum_{n=1}^\infty(n-2)P_n(t)x^n\right\vert _{x=1}-P_1=\theta-2G(1,t)-P_1$$ (B.8) Sendo finalmente: $$C(2,t)=\theta-\theta^2-2G(1,t)+N_1-P_1$$ (B.9)   © Copyright 2004 Bruno Goncalves - All rights reserved