English

Português

日本語

Função geradora Neste apêndice daremos uma breve revisão do método da função geradora [1,11] para a resolução de equações diferenciais e das suas propriedades intrínsecas. Tudo o que aqui for dito para $G(x,t)$ é igualmente válido para $G_N(x,t)$, bastando para tal substituir $P_n(t)$ por $N_n(t)$. A função geradora de uma determinada distribuição de probabilidades $P_n(t)$ é simplesmente: $$G(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty}P_n(t)x^n$$ (A.1) As suas derivadas em ordem ao $t$ e a $x$, são respectivamente: $$\frac{\partial G(x,t)}{\partial t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\partial P_n(t)}{\partial t}x^n$$ (A.2) $$\frac{\partial G(x,t)}{\partial x}=\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(t)x^{n-1}$$ (A.3) A partir das Eqs.A.1 A.2 A.3 é possível simplificar uma equação diferencial para $P_n(t)$ em função de $P_m(t)$A.1 numa simples equação de derivadas parciais para $G(x,t)$. Depois de se encontrar a solução desta equação diferencial, é possível recuperar a solução para $P_n(t)$ fazendo: $$P_n(t)=\frac{1}{n!}\left.\frac{\partial^n G(x,t)}{\partial x^n}\right\vert _{x=0}$$ (A.4) È também simples verificar que: $$G(1,t)=\sum_{n=0}^{\infty}P_n(t)$$ (A.5) A função $P_n(t)$ dá-nos a probabilidade de encontrar $n$ locais consecutivos ocupados na rede, logo, $P_n(t)L$ indica-nos o numero de vezes que tal acontece num sistema de tamanho $L$. O numero $N(t)$ de partículas depositadas no sistema é então dado por: $$N(t)=\sum_{n=0}^\infty nP_n(t)L$$ (A.6) Se nos recordarmos que $\theta=N/L$, obtemos: $$\theta(t)=\sum_{n=0}^\infty nP_n(t)=\left.x\frac{\partial G(x,t)}{\partial x}\right\vert _{x=1}$$ (A.7) É também simples verificar que: $$\theta=1-\sum_{n=0}^\infty nN_n(t)=1-\left.x\frac{\partial G_N(x,t)}{\partial x}\right\vert _{x=1}$$ (A.8) E também que: $$\sum_{n=0}^\infty(n-m)P_n(t)x^n=\sum_{n=0}^\infty nP_n(t)x^n-mP_n(t)x^n=x\frac{dG(x,t)}{dx}-mG(x,t)$$ (A.9) Consideremos dois exemplos simples: Distribuição de Poisson Suponhamos que no estudo de um determinado processo estocástico deparamos com a seguinte equação: $$\frac{\partial P_n(t)}{\partial t}=-2P_n(t)+2P_{n+1}(t)$$ (A.10) Multiplicando por $x^n$ e efectuando o somatório sobre todos os valores de $n$ obtemos: $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\partial P_n(t)}{\partial t}x^n=-2\sum_{n=0}^{\infty}P_n(t)x^n+2\sum_{n=0}^{\infty}P_{n+1}(t)x^n$$ (A.11) Usando as relações A.1 a A.3 e simplificando, obtemos: $$\frac{\partial G(x,t)}{\partial t}=2(x-1)G(x,t)$$ (A.12) Cuja solução é simplesmente: $$G(x,t)=C(x)e^{-2t(1-x)}$$ (A.13) onde $C(x)$ representa uma qualquer função de $x$ compatível com as condições iniciais do problema. A solução para a Eq. A.10 é (se considerarmos $C(x)=pq^2x$): $$P_n(t)=\frac{pq^2(2t)^{n-1}e^{-2t}}{(n-1)!}$$ (A.14) Que mais não é, que uma distribuição de Poisson com parâmetro $2t$. Da Eq. A.7 é simples obter: $$\theta(t)=pq^2+2pq^2t$$ (A.15) Um outro exemplo Neste caso somos confrontados com a necessidade de resolver a seguinte equação: $$\frac{\partial N_n(t)}{\partial t}=-nN_n(t)+(n+1)N_{n+1}(t)$$ (A.16) Usando o mesmo raciocínio que anteriormente chegamos á seguinte equação para a função geradora: $$\frac{\partial G_N(x,t)}{\partial t}=(1-x)\frac{\partial G_N(x,t)}{\partial x}$$ (A.17) Recorrendo ao método das características encontramos: $$\frac{dt}{1}=\frac{dx}{-(1-x)}=\frac{dG_N(x,t)}{0}$$ (A.18) E logo: $$\frac{\partial G_N(x,t)}{\partial t}=0$$ (A.19) $$\int dt=\int\frac{dx}{x-1}$$ (A.20) Daqui, facilmente se obtém que: $$G_N(x,t)=constante$$ (A.21) $$t=\log(x-1)+constante <=> e^t(x-1)^{-1}=constante$$ (A.22) E portanto é possível mostrar que: $$G_N(x,t)=\Psi(e^t(x-1)^{-1})$$ (A.23) Se consideramos que a função geradora no instante $t=0$ é simplesmente: $$G_N(x,0)=\frac{p^2}{1-qx}$$ (A.24) obtemos que: $$G_N(x,t)=\frac{p^2}{1-q(e^{-t}(x-1)+1)}$$ (A.25) Daqui a equação para $N_n(t)$ obtêm-se directamente, como sendo: $$N_n(t)=\frac{e^tp^2q^n}{(e^t(1-q)+q)^{n+1}}$$ (A.26) Neste caso obtemos: $$\theta(t)=1-qe^{-t}$$ (A.27)   © Copyright 2004 Bruno Goncalves - All rights reserved